Probabilités au tarot : calculer sans deviner

Réponse directe : trois probabilités utiles

Avec ta main de 18 cartes connue à quatre joueurs, une carte précise parmi les 60 inconnues a une probabilité de 10,00 % d’être au chien de six cartes et de 30,00 % d’être chez un adversaire fixé de 18 cartes. Ces destinations n’ont pas la même taille.

Ces valeurs sont exactes dans le modèle uniforme brut : avant toute exclusion des donnes avec Petit sec, enchère, écart ou carte jouée. Elles ne sont pas les fréquences exactes promises pour les parties réellement jouées.

Si deux ou trois cartes distinctes restent ciblées, la probabilité que le chien en contienne au moins une vaut respectivement 19,15 % et 27,52 %. Au moins une, exactement une et toutes les cibles sont trois questions différentes ; définis la tienne avant le calcul.

Le modèle exact utilisé

Le modèle suppose un paquet correctement mélangé et toutes les allocations compatibles avec ta seule main équiprobables. À quatre, tes 18 cartes sont retirées des 78 ; les 60 restantes se partagent entre trois mains nommées de 18 cartes et le chien de six. Définis la destination avant d’observer le résultat.

Une donne avec Petit sec est exclue des donnes acceptées. Comparer les seules donnes acceptées au modèle brut sans cette précision mélange deux populations. Les calculs ci-dessous décrivent le mélange brut, pas toutes les conditions de sélection d’une partie.

Les tailles des mains et du chien viennent du règlement FFT. Le calcul sans remise suit la loi hypergéométrique : avec N cartes inconnues, K cibles et une destination de n cartes, la probabilité d’y trouver exactement k cibles vaut C(K,k) × C(N−K,n−k) / C(N,n).

• Une population N et un nombre K de cibles encore inconnues.
• Une destination de taille n fixée avant l’observation.
• Un événement précis : exactement k ou au moins k cibles.
• Aucune information supplémentaire tirée des enchères ou des décisions des joueurs.

• Calculer avec des hypothèses explicites
• Comprendre les donnes annulées pour Petit sec

Probabilité de trouver une carte au chien

Un Roi précis encore inconnu est une seule carte cible, comme le 21. Dans le modèle à quatre après connaissance de ta seule main, six positions sur soixante appartiennent au chien : sa probabilité y est de 10 %. Avec ce Roi déjà en main, elle est nulle. Chercher au moins un Roi quelconque exige de compter tous les Rois encore inconnus.

Pour les bouts, pars de trois et retire ceux de ta main. Avec le Petit déjà détenu, deux bouts restent inconnus. La probabilité d’en trouver au moins un au chien vaut 1 − C(58,6) / C(60,6), soit 113/590, environ 19,15 %. Additionner deux fois 10 % compterait deux fois les chiens contenant les deux bouts.

Le tableau conserve le même format à quatre et compte au moins une cible. Les bouts sont un exemple de cibles ; un chien qui en contient deux compte une seule fois dans cet événement. Avec zéro bout inconnu, la probabilité d’en trouver un au chien est simplement nulle.

• Comparer exactement une et au moins une cible

Probabilité qu’un adversaire précis détienne une carte

Fixe d’abord une autre main, par exemple le siège à ta droite. Elle reçoit 18 des 60 cartes inconnues. Dans le modèle brut, une carte précise encore invisible a donc une probabilité de 30,00 % de s’y trouver : 18 / 60, soit 3/10.

Ce résultat ne vaut pas pour « au moins un des trois adversaires », événement certain si la carte n’est ni dans ta main ni au chien. Nommer la main observée avant le calcul évite de changer la question après avoir vu les cartes.

Probabilité qu’un adversaire soit sans une couleur

L’absence initiale d’une couleur ne prouve pas une coupe future : couper exige aussi de conserver un atout. Une main sans la couleur demandée et sans atout défausse, elle ne coupe pas.

À quatre joueurs, si tu possèdes h cartes d’une couleur, il en reste K = 14 − h parmi les 60 inconnues. Une autre main fixée reçoit 18 cartes. Sa probabilité brute de ne recevoir aucune carte de cette couleur est C(60−K,18) / C(60,18).

Ce calcul ne désigne pas automatiquement le preneur, dont le rôle résulte des enchères. Il ne répond pas non plus à « au moins un adversaire est sans couleur ». Les mains se partagent un paquet fini ; leurs événements ne sont pas indépendants. Multiplier trois probabilités comme si chacun recevait un paquet séparé serait incorrect.

• Calculer une absence dans une main fixée

Comment lire une combinaison C(n, k) ?

C(n,k) compte les groupes possibles de k cartes parmi n, sans tenir compte de leur ordre. Avec A, B, C et D, choisir deux cartes donne six paires : AB, AC, AD, BC, BD et CD. BA n’est pas une septième possibilité : elle contient les mêmes cartes que AB. Ainsi, C(4,2) = 6.

C(60,6) compte tous les ensembles de six cartes compatibles avec ta seule main à quatre joueurs. C(59,6) compte ceux qui excluent une carte précise. Leur différence compte les chiens contenant cette carte ; le rapport au total donne sa probabilité.

Une combinaison ne prédit ni l’ordre des cartes jouées ni les décisions d’une partie. Elle dénombre les groupes d’un modèle. L’ordre ne change pas les cartes qui composent un chien ; il devient en revanche essentiel pour étudier une suite de plis.

Adapter le calcul après une information

La formule sans remise reste la même à trois, quatre et cinq joueurs, mais les tailles changent. Avec ta seule main initiale connue, il reste respectivement 54, 60 et 63 cartes inconnues. Le tableau vérifie leur répartition entre les autres mains et le chien.

Pour une carte précise encore inconnue, la probabilité brute d’être au chien vaut donc 6/54 = 1/9 à trois, 6/60 = 1/10 à quatre et 3/63 = 1/21 à cinq. On compare le même événement sous la même connaissance initiale, pas la probabilité de réussir un contrat.

Avec des cartes révélées, le modèle doit être revu. Retirer les cartes vues ne suffit pas toujours : une annonce, une absence de couleur ou un choix d’écart peuvent exclure certaines allocations. Le calculateur décrit le modèle initial qu’il affiche ; il n’analyse pas toutes les informations d’une partie en cours.

• Revoir le format à trois
• Revoir le format à cinq

Des probabilités, pas un barème d’enchère

Une probabilité décrit l’emplacement possible de cartes inconnues. Elle ne mesure ni la hauteur de tes atouts, ni la protection du Petit, ni tes reprises, ni les points fragiles de la main. Une carte recherchée au chien peut améliorer un plan sans rendre automatiquement une Garde correcte.

Pour décider, sépare les faits de la main, le risque mathématique et ton objectif. Écris la question avant le pourcentage : « quelle chance de voir au moins un de ces deux bouts au chien ? » est vérifiable ; « quelle chance de gagner ? » dépend des enchères, des décisions et de toutes les mains, et n’est pas calculée ici.

Trois cas pratiques bien posés

Ces formulations définissent la population, la cible et le tirage avant le calcul. Si l’une de ces trois données manque, un pourcentage précis donnerait une fausse impression de certitude.

Erreurs fréquentes

• Calculer sur 78 cartes alors que tes 18 cartes sont déjà connues
• Additionner les probabilités de plusieurs cibles sans corriger les recouvrements
• Parler d’un adversaire quelconque puis interpréter le résultat comme une main fixée
• Confondre absence d’une couleur à la distribution et coupe certaine plus tard
• Réutiliser les tailles du jeu à quatre pour une table à trois ou cinq
• Transformer une probabilité de carte au chien en probabilité de gagner la donne
• Arrondir les étapes intermédiaires au lieu du seul résultat final

À lire ensuite

• Revoir les tailles exactes des mains et du chien
• Décider du contrat sans barème automatique
• Distinguer faits, hypothèses et décisions
• Calculer les points certains après la donne
• Comprendre l’attribution du chien et des bouts
• Adapter les populations au tarot à 3 joueurs
• Adapter les populations au tarot à 5 joueurs

Combien d’atouts dans une main fixée ?

Pour cette question, on compte les 21 atouts numérotés et l’on garde l’Excuse à part. Avant de connaître une main à quatre joueurs, le nombre d’atouts d’un siège fixé suit la loi sans remise avec N = 78, K = 21 et n = 18. Sa moyenne brute est 18 × 21/78, soit 63/13, environ 4,85 atouts. Cela n’impose pas de recevoir cinq atouts à chaque donne.

Si ta main initiale comporte sept atouts, quatorze atouts restent parmi les soixante cartes inconnues. Pour une autre main fixée de dix-huit cartes, on emploie alors N = 60, K = 14 et n = 18. Le calculateur peut répondre exactement quatre, au moins quatre ou zéro, sans confondre ces événements.

La main la plus riche parmi les trois adversaires est une autre variable que la main d’un siège fixé. De même, les atouts du preneur après son écart ne sont plus une simple main tirée avant les enchères. Pour comparer une répartition entre tous les sièges, il faut conserver ensemble leurs contraintes de taille et la place du chien.

• Explorer le nombre d’atouts et les répartitions par siège
• Comprendre pourquoi les séries s’écartent de leur moyenne

Calcul exact, simulation et équité : trois questions distinctes

Un calcul exact dénombre les possibilités d’un modèle. Une simulation produit une série d’exemples qui peut s’écarter de cette moyenne. Une vérification de distribution contrôle que des paramètres et une allocation sont cohérents avec un algorithme annoncé. Ces trois approches se complètent, mais aucune ne remplace automatiquement les deux autres.

Le simulateur pédagogique permet d’observer des mélanges et d’identifier les éventuels Petits secs, sans consulter tes parties. La page d’équité présente un exemple synthétique reproductible et précise les limites de ce qui est vérifiable. Ni les tableaux de cette page ni un histogramme régulier ne prouvent, à eux seuls, qu’un serveur n’a jamais choisi une graine favorable.

• Observer une série de mélanges pédagogiques
• Comprendre la preuve et les limites des distributions